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高一數(shù)學(xué)必修1輔導(dǎo),高一數(shù)學(xué)上冊(cè)講解

  • 高中數(shù)學(xué)
  • 2025-02-04

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高一數(shù)學(xué)必修1知識(shí)點(diǎn)歸納

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高一數(shù)學(xué)必修一第一章主要講的是有關(guān)集合的內(nèi)容,下面是我給大家?guī)?lái)的高一人教版數(shù)學(xué)必修一第一章知識(shí)點(diǎn)整理,希望對(duì)你有幫助。

高一數(shù)學(xué)必修一第一章知識(shí)點(diǎn)

一、集合有關(guān)概念:

1、集合的含義:某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合,其中每一個(gè)對(duì)象叫元素。

2、集合的中元素的三個(gè)特性:

(1)元素的確定性; (2)元素的互異性; (3)元素的無(wú)序性

說(shuō)明:(1)對(duì)于一個(gè)給定的集合,集合中的元素是確定的,任何一個(gè)對(duì)象或者是或者不是這個(gè)給定的集合的元素。

(2)任何一個(gè)給定的集合中,任何兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象,相同的對(duì)象歸入一個(gè)集合時(shí),僅算一個(gè)元素。

(3)集合中的元素是平等的,沒有先后順序,因此判定兩個(gè)集合是否一樣,僅需比較它們的元素是否一樣,不需考查排列順序是否一樣。

(4)集合元素的三個(gè)特性使集合本身具有了確定性和整體性。

3、集合的表示:{ … } 如{我校的籃球隊(duì)員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊(duì)員},B={1,2,3,4,5}

(2)集合的表示方法:列舉法與描述法。

(Ⅰ)列舉法:把集合中的元素一一列舉出來(lái),然后用一個(gè)大括號(hào)括上。

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高中高一數(shù)學(xué)必修1各章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第一章 集合與函數(shù)概念

一、集合有關(guān)概念

1、集合的含義:某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合,其中每一個(gè)對(duì)象叫元素.

2、集合的中元素的三個(gè)特性:

1.元素的確定性;2.元素的互異性;3.元素的無(wú)序性

說(shuō)明:(1)對(duì)于一個(gè)給定的集合,集合中的元素是確定的,任何一個(gè)對(duì)象或者是或者不是這個(gè)給定的集合的元素.

(2)任何一個(gè)給定的集合中,任何兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象,相同的對(duì)象歸入一個(gè)集合時(shí),僅算一個(gè)元素.

(3)集合中的元素是平等的,沒有先后順序,因此判定兩個(gè)集合是否一樣,僅需比較它們的元素是否一樣,不需考查排列順序是否一樣.

(4)集合元素的三個(gè)特性使集合本身具有了確定性和整體性.

3、集合的表示:{ … } 如{我校的籃球隊(duì)員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊(duì)員},B={1,2,3,4,5}

2.集合的表示方法:列舉法與描述法.

注意啊:常用數(shù)集及其記法:

非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作:N

正整數(shù)集N*或 N+ 整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實(shí)數(shù)集R

關(guān)于“屬于”的概念

集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就說(shuō)a屬于集合A 記作 a∈A ,相反,a不屬于集合A 記作 a?A

列舉法:把集合中的元素一一列舉出來(lái),然后用一個(gè)大括號(hào)括上.

描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來(lái),寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法.用確定的條件表示某些對(duì)象是否屬于這個(gè)集合的方法.

①語(yǔ)言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

②數(shù)學(xué)式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}

4、集合的分類:

1.有限集 含有有限個(gè)元素的集合

2.無(wú)限集 含有無(wú)限個(gè)元素的集合

3.空集 不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}

二、集合間的基本關(guān)系

1.“包含”關(guān)系—子集

注意: 有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合.

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A

2.“相等”關(guān)系(5≥5,且5≤5,則5=5)

實(shí)例:設(shè)A={x|x2-1=0}B={-1,1} “元素相同”

結(jié)論:對(duì)于兩個(gè)集合A與B,如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素,同時(shí),集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素,我們就說(shuō)集合A等于集合B,即:A=B

① 任何一個(gè)集合是它本身的子集.AíA

②真子集:如果AíB,且A1 B那就說(shuō)集合A是集合B的真子集,記作A B(或B A)

③如果 AíB, BíC ,那么 AíC

④ 如果AíB同時(shí) BíA 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ

規(guī)定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集.

三、集合的運(yùn)算

1.交集的定義:一般地,由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.

記作A∩B(讀作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.

2、并集的定義:一般地,由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,叫做A,B的并集.記作:A∪B(讀作”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.

3、交集與并集的性質(zhì):A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A,

A∪φ= A ,A∪B = B∪A.

4、全集與補(bǔ)集

(1)補(bǔ)集:設(shè)S是一個(gè)集合,A是S的一個(gè)子集(即 ),由S中所有不屬于A的元素組成的集合,叫做S中子集A的補(bǔ)集(或余集)

記作: CSA 即 CSA ={x | x?S且 x?A}

S

CsA

A

(2)全集:如果集合S含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素,這個(gè)集合就可以看作一個(gè)全集.通常用U來(lái)表示.

(3)性質(zhì):⑴CU(C UA)=A⑵(C UA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U

二、函數(shù)的有關(guān)概念

1.函數(shù)的概念:設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù).記作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數(shù)的值域.

注意:2如果只給出解析式y(tǒng)=f(x),而沒有指明它的定義域,則函數(shù)的定義域即是指能使這個(gè)式子有意義的實(shí)數(shù)的集合;3 函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式.

定義域補(bǔ)充

能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域,求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零; (3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零;(4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么,它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數(shù)為零底不可以等于零 (6)實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義.

(又注意:求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域.)

構(gòu)成函數(shù)的三要素:定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域

再注意:(1)構(gòu)成函數(shù)三個(gè)要素是定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的,所以,如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,即稱這兩個(gè)函數(shù)相等(或?yàn)橥缓瘮?shù))(2)兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,而與表示自變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān).相同函數(shù)的判斷方法:①表達(dá)式相同;②定義域一致 (兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)

(見課本21頁(yè)相關(guān)例2)

值域補(bǔ)充

(1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對(duì)應(yīng)法則,不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域.(2).應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域,它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ).

3. 函數(shù)圖象知識(shí)歸納

(1)定義:在平面直角坐標(biāo)系中,以函數(shù) y=f(x) , (x∈A)中的x為橫坐標(biāo),函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x,y)的集合C,叫做函數(shù) y=f(x),(x ∈A)的圖象.

C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x),反過來(lái),以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x,y),均在C上 . 即記為C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }

圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多只有一個(gè)交點(diǎn)的若干條曲線或離散點(diǎn)組成.

(2) 畫法

A、描點(diǎn)法:根據(jù)函數(shù)解析式和定義域,求出x,y的一些對(duì)應(yīng)值并列表,以(x,y)為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)P(x, y),最后用平滑的曲線將這些點(diǎn)連接起來(lái).

B、圖象變換法(請(qǐng)參考必修4三角函數(shù))

常用變換方法有三種,即平移變換、伸縮變換和對(duì)稱變換

(3)作用:

1、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì);2、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路.提高解題的速度.

發(fā)現(xiàn)解題中的錯(cuò)誤.

4.快去了解區(qū)間的概念

(1)區(qū)間的分類:開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間;(2)無(wú)窮區(qū)間;(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.

5.什么叫做映射

一般地,設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合,如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng),那么就稱對(duì)應(yīng)f:A B為從集合A到集合B的一個(gè)映射.記作“f:A B”

給定一個(gè)集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對(duì)應(yīng),那么,我們把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象

說(shuō)明:函數(shù)是一種特殊的映射,映射是一種特殊的對(duì)應(yīng),①集合A、B及對(duì)應(yīng)法則f是確定的;②對(duì)應(yīng)法則有“方向性”,即強(qiáng)調(diào)從集合A到集合B的對(duì)應(yīng),它與從B到A的對(duì)應(yīng)關(guān)系一般是不同的;③對(duì)于映射f:A→B來(lái)說(shuō),則應(yīng)滿足:(Ⅰ)集合A中的每一個(gè)元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè);(Ⅲ)不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象.

常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點(diǎn):

1 函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線,也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)等等,注意判斷一個(gè)圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù);2 解析法:必須注明函數(shù)的定義域;3 圖象法:描點(diǎn)法作圖要注意:確定函數(shù)的定義域;化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式;觀察函數(shù)的特征;4 列表法:選取的自變量要有代表性,應(yīng)能反映定義域的特征.

注意啊:解析法:便于算出函數(shù)值.列表法:便于查出函數(shù)值.圖象法:便于量出函數(shù)值

補(bǔ)充一:分段函數(shù) (參見課本P24-25)

在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù).在不同的范圍里求函數(shù)值時(shí)必須把自變量代入相應(yīng)的表達(dá)式.分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個(gè)不同的方程,而就寫函數(shù)值幾種不同的表達(dá)式并用一個(gè)左大括號(hào)括起來(lái),并分別注明各部分的自變量的取值情況.(1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù),不要把它誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù);(2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集.

補(bǔ)充二:復(fù)合函數(shù)

如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),則 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A)稱為f、g的復(fù)合函數(shù).

例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)

7.函數(shù)單調(diào)性

(1).增函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1,x2,當(dāng)x1

高一數(shù)學(xué)上冊(cè)全部講解視頻

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高中數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)歸納

高一數(shù)學(xué)必修1 知識(shí)點(diǎn)歸納(一)

一:集合的含義與表示

1、集合的含義:集合為一些確定的、不同的東西的全體,人們能意識(shí)到這些東西,并且能判斷一個(gè)給定的東西是否屬于這個(gè)整體。

把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素,把一些元素組成的總體叫集合,簡(jiǎn)稱為集。

2、集合的中元素的三個(gè)特性:

(1)元素的確定性:集合確定,則一元素是否屬于這個(gè)集合是確定的:屬于或不屬于。

(2)元素的互異性:一個(gè)給定集合中的元素是的,不可重復(fù)的。

(3)元素的無(wú)序性:集合中元素的位置是可以改變的,并且改變位置不影響集合

3、集合的表示:{…}

(1)用大寫字母表示集合:A={我校的籃球隊(duì)員},B={1,2,3,4,5}

(2)集合的表示方法:列舉法與描述法。

a、列舉法:將集合中的元素一一列舉出來(lái){a,b,c……}

b、描述法:

①區(qū)間法:將集合中元素的公共屬性描述出來(lái),寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合。

高中數(shù)學(xué)必修一視頻講解

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